{Teoría} Números complejos (Operaciones básicas)

En la parte anterior introdujimos los números complejos y dimos las primeras definiciones, así como vimos alguna propiedad. En la entrada de hoy veremos como realizar algunas operaciones en este conjunto.

Primero de todo veremos como se realizan la suma y la resta de números complejos. Para hacerlo debemos hacerlo por componentes, es decir, por un lado la parte real y por otro la imaginaria.

Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (bi + di) = (a+c) + (b+d)i
Resta: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (bi – di) = (a-c) + (b-d)i

Veámoslo con un ejemplo:
(7 + 3i) + (4 + 5i) = 11 + 8i
(4 + 2i) – (2 + 3i) = 2 – i

Para continuar veremos el caso de la multiplicación. En este caso debemos de operar de forma similar a los binomios.

Recordatorio: (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd

De forma similar tendremos: (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi2
Ahora teniendo en cuenta que i2=-1, podemos modificar la expresión anterior:
ac+adi+bci+bdi2 = ac + adi + bci –bd = (ac-bd) + (ad+bc)i

Ejemplo:
(3+2i)(5+3i) = 15+9i+10i-6 = 9 + 19i

Para el caso de las divisiones, primero hemos de quitar la parte imaginaria del denominador, para hacerlo multiplicaremos por el conjugado, y posteriormente será como una multiplicación:

En la primera igualdad multiplicamos (arriba y abajo) por el conjugado, en la segunda operamos (como en la multiplicación) y en la tercera simplemente lo separamos en parte real e imaginaria.

Ejemplo:

Ahora que sabemos como dividir podemos definir el inverso de a+bi como:

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3 Respuestas a “{Teoría} Números complejos (Operaciones básicas)

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